Bng biu din vc-t mathbb tho right leq quad geq rng tng chnh hoc sung thm

Dưới đây là đề kiểm tra 15 phút về Bất đẳng thức biến phân và cân bằng kinh tế được soạn bằng tiếng Việt.

Đề kiểm tra 15 phút

Chủ đề: Bất đẳng thức biến phân và Cân bằng kinh tế
Thời gian: 15 phút

Câu 1 (4 điểm)

• K là tập lồi đóng trong ℝⁿ.
•  F:ℝⁿ→ℝⁿ  là một ánh xạ liên tục.

1. (2 điểm) Nêu ý nghĩa của bài toán bất đẳng thức biến phân trong ứng dụng tối ưu.
2. (2 điểm) Giải thích ngắn gọn trong trường hợp nào bài toán có nghiệm duy nhất?

Câu 2 (6 điểm)

Xét một mô hình cân bằng kinh tế với n hàng hóa. Giá cả cân bằng được biểu diễn bởi véc-tơ p^* ∈ ℝⁿ thoả mãn:

⟨D(p^*), p − p^*⟩ ≤ 0,  ∀p ≥ 0

1. (2 điểm) Trình bày ý nghĩa của cân bằng kinh tế và vai trò của bất đẳng thức biến phân trong việc tìm giá cân bằng.
2. (2 điểm) Nêu điều kiện cần và đủ để nghiệm p^* là giá cân bằng duy nhất.
3. (2 điểm) Trong thực tế, làm thế nào để đảm bảo rằng mô hình này phản ánh được tính cạnh tranh hoàn hảo của thị trường?

Hướng dẫn chấm điểm:

• Câu 1:
  • Ý nghĩa của bất đẳng thức biến phân trong tối ưu (2 điểm)
  • Điều kiện để bài toán có nghiệm duy nhất (2 điểm)
• Câu 2:
  • Giải thích về cân bằng kinh tế (2 điểm)
  • Điều kiện để giá cân bằng là duy nhất (2 điểm)
  • Phản ánh tính cạnh tranh hoàn hảo (2 điểm)