Preguntas

Para resolver este problema, debemos aplicar conceptos de energía y dinámica en el movimiento circular.

Parte (a)

Queremos encontrar la rapidez mínima $v_0$ que debe tener el carro en la parte inferior del sistema para que la aceleración centrípeta en la parte superior del lazo grande sea igual a $g$.

1. Energía Mecánica: Sin fricción, la energía mecánica se conserva. En el punto más bajo, la energía total del sistema es solo energía cinética: $E_{\text{inicial}} = \frac{1}{2} m v_0^2$

2. Aceleración Centrípeta en la Parte Superior del Lazo Grande: Necesitamos que la aceleración centrípeta sea igual a $g$. Sabemos que: $a_c = \frac{v^2}{R} = g \implies v^2 = gR$

3. Conservación de Energía: La altura que el carro ha subido en la parte superior del lazo grande es $2R$. Entonces, la energía potencial en la parte superior del lazo grande es: $E_{\text{final}} = \frac{1}{2} m (v^2) + mgh = \frac{1}{2} m (gR) + mg(2R) = \frac{1}{2} mgR + 2mgR = \frac{5}{2} mgR$

Para que se conserve la energía: $\frac{1}{2} m v_0^2 = \frac{5}{2} mgR$

Despejando $v_0$: $v_0^2 = 5gR$ $v_0 = \sqrt{5gR}$

Parte (b)

Debemos verificar si esta rapidez es suficiente para que la condición $a_c = g$ se cumpla también en el lazo pequeño.

1. Aceleración Centrípeta en la Parte Superior del Lazo Pequeño: La aceleración centrípeta debe ser igual a $g$: $a_c = \frac{v^2}{(R/3)} = 3g \implies v^2 = 3g \left(\frac{R}{3}\right) = gR$

2. Conservación de Energía: La altura en la parte superior del lazo pequeño es $2 \cdot \frac{R}{3} = \frac{2R}{3}$. Entonces, la energía potencial en la parte superior del lazo pequeño es: $E_{\text{final}} = \frac{1}{2} m (gR) + mg \left(\frac{2R}{3}\right) = \frac{1}{2} mgR + \frac{2}{3} mgR = \frac{7}{6} mgR$

Comparando esto con la energía inicial: $\frac{1}{2} m v_0^2$

Para que se conserve la energía: $\frac{1}{2} m (\sqrt{5gR})^2 = \frac{5}{2} mgR$

Como $\frac{5}{2} mgR > \frac{7}{6} mgR$, concluimos que:

$v_0 = \sqrt{5gR}$

es suficiente para cumplir con la condición en ambos lazos, tanto en el grande como en el pequeño. Sin embargo, tener más velocidad significa que en el lazo pequeño la fuerza centrípeta será mayor que $g$, pero esto no invalida la rapidez mínima calculada para el lazo grande.