Differentiëren Differentieer de volgende functies vereenvoudig zover mogelijk 𝑔 𝑥 8 𝑥 5 − 𝑥 2 𝑥 3 gx2x38x5−x 𝑓 𝑥 4 𝑥 2 1 𝑥 1 fxx14x21 Raken en buigpunten Gegeven is de functie 𝑓 𝑝 𝑥 𝑥 4 𝑝 𝑥 3 3 4 𝑥 2 10 fpxx4px343x210 Ix 3 Stel

Question

Differentiëren Differentieer de volgende functies vereenvoudig zover mogelijk: $g ( x )=\frac{8 x^{5}-x} {2 x^{3}}$ $f ( x )={\frac{4 x^{2}+1} {x+1}}$ Raken en buigpunten Gegeven is de functie| $f_{p} ( x )=x^{4}+p x^{3}+\frac{3} {4} x^{2}+1 0$ Ix + 3. Stel de vergelijking van lijn k op $x_{A}=-2$ is evenwijdig aan de lijn $y=-1$ | De raaklijn k punt met A met 15 Bereken exact voor welke waarden van $p$ de grafiek van $f_{p}$ geen buigpunten heeft: Toppen 'en DBeder auncktie $f ( x )={\frac{2 x^{2}+8} {x}}$ Hiernaast zie je de grafiek van f. $x=-$ De grafiek væ "oppe) richtingscoëfficiënt Bereken op algebraïsche wijze de van de lijn n die door deze twee toppen gaat:. $0$ $f$ Einde

Konrad Oestrovsky · Answer

Laten we de problemen stuk voor stuk aanpakken.

Differentiëren van Functies

1. g(x) differentiatie

Gegeven de functie $g(x) = \frac{8x^{5} - x}{2x^{3}}$ , we vereenvoudigen eerst de functie.

$g(x) = \frac{8x^{5} - x}{2x^{3}} = \frac{8x^{5}}{2x^{3}} - \frac{x}{2x^{3}} = 4x^{2} - \frac{1}{2x^{2}}$

Nu differentiëren we $g(x)$ :

De afgeleide van $4x^{2}$ is $8x$ .
De afgeleide van $-\frac{1}{2x^{2}}$ is $\frac{1}{x^{3}}$ (gebruik de kettingregel en de machtregel).

Dus,

$g'(x) = 8x + \frac{1}{x^{3}}$

2. f(x) differentiatie

Gegeven de functie $f(x) = \frac{4x^{2} + 1}{x + 1}$ .

We kunnen $f(x)$ ook opsplitsen, maar laten we differentiëren zoals het is:

We gebruiken de quotiëntregel:

Als $u = 4x^{2} + 1$ en $v = x + 1$ , dan is $f(x) = \frac{u}{v}$ .

De afgeleide is:

$f'(x) = \frac{u'v - uv'}{v^2}$

Bereken de afgeleiden:

$u' = 8x$
$v' = 1$

Dan,

$f'(x) = \frac{(8x)(x + 1) - (4x^{2} + 1)(1)}{(x + 1)^{2}}$

$f'(x) = \frac{8x^2 + 8x - 4x^2 - 1}{(x + 1)^{2}}$

$f'(x) = \frac{4x^2 + 8x - 1}{(x + 1)^{2}}$

Raken en Buigpunten

3. Voor $f_{p}(x) = x^{4} + px^{3} + \frac{3}{4}x^{2} + 10$

Om na te gaan voor welke waarden van $p$ de grafiek van $f_{p}$ geen buigpunten heeft, berekenen we de tweede afgeleide $f_{p}''(x)$ en stellen deze gelijk aan nul.

De eerste afgeleide:

$f_{p}'(x) = 4x^3 + 3px^2 + \frac{3}{2}x$

De tweede afgeleide:

$f_{p}''(x) = 12x^2 + 6px + \frac{3}{2}$

Voor geen buigpunten geldt dat de discriminant van $12x^2 + 6px + \frac{3}{2}$ negatief moet zijn. De discriminant is:

$D = (6p)^2 - 4 \cdot 12 \cdot \frac{3}{2} = 36p^2 - 72$

Stel $D < 0$ :

$36p^2 - 72 < 0$

$36p^2 < 72$

$p^2 < 2$

$|p| < \sqrt{2}$

Dus $p$ moet liggen in het gebied $-\sqrt{2} < p < \sqrt{2}$ .

Toppen en Richtingscoëfficiënt

4. Functie $f(x) = 2x^2 + 8$ en de lijn door twee toppen

Gegeven de functie $f(x) = \frac{2x^2 + 8}{x} = 2x + \frac{8}{x}$ , deze grafiek heeft geen reguliere toppen aangezien $f(x)$ niet door extreme waarden gaat over zijn domein door het ontbreken van zulke kritieke punten.

Als u extra uitleg wilt, specificaties of vragen over andere onderdelen, kan ik verder assistentie bieden.

Fragen

Antworten :

Deine Antwort

Als Gast antworten